Докажите что число n^3 делится на 6

Утверждается, что для любого натурального числа n, выражение n³ — n делится на 6. Это утверждение можно доказать с помощью метода математической индукции.

Базовый шаг: для n = 1, утверждение очевидно справедливо, так как 1³ — 1 = 0, что делится на 6.

Шаг предположения: предположим, что утверждение верно для натурального числа k, то есть k³ — k делится на 6.

Шаг индукции: докажем, что утверждение также верно для k + 1. Подставим k + 1 вместо n в выражение: (k + 1)³ — (k + 1). Раскроем скобки и упростим: (k³ + 3k² + 3k + 1) — (k + 1). Получим: k³ + 3k² + 3k + 1 — k — 1 = k³ + 3k² + 2k. По предположению индукции, k³ — k делится на 6, значит k³ + 3k² + 2k также делится на 6.

Таким образом, с помощью индукции мы доказали, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Формулировка задачи

Определение числа n

Число n может быть положительным, отрицательным или нулём. Оно является одним из основных понятий в математике и широко применяется в различных областях науки и повседневной жизни.

В контексте задачи, где требуется доказать, что число n³ — n делится на 6, число n обозначает переменную или неизвестное число, для которого требуется проверить условие. Путем алгебраических преобразований можно показать, что данное выражение всегда делится на 6 при любом значении n.

Таким образом, при решении данной задачи нужно использовать свойства алгебры и доказательство, чтобы показать, что число n³ — n действительно делится на 6 для всех целых значений n.

Разложение числа n³ — n на множители

Обратим внимание, что n³ — n можно факторизовать следующим образом:

n³ — n = n(n² — 1) = n(n — 1)(n + 1)

Теперь мы можем видеть, что n³ — n представляется в виде произведения трех множителей: n, n — 1 и n + 1. Это значит, что число n³ — n делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3.

Множитель n гарантирует, что число делится на 2, так как любое число, умноженное на 2, будет четным. Множители n — 1 и n + 1 гарантируют, что число делится на 3, так как сумма или разность двух последовательных чисел всегда делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что число n³ — n делится на 6, используя факторизацию и свойства чисел. Это может быть полезной информацией при решении математических задач и доказательств.

Доказательство делимости на 6

1. База индукции: Для n = 1 формула n³ — n принимает значение 0, которое является кратным 6.
2. Шаг индукции: Допустим, что для некоторого k формула n³ — n кратна 6. То есть, n³ — n = 6k, где k — целое положительное число.

Докажем, что для n = k + 1 также выполняется условие делимости на 6.

Подставим n = k + 1 в формулу:

(k + 1)³ — (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 — k — 1

= k³ + 3k² + 2k = k(k² + 3k + 2)

Мы знаем, что k³ — k кратно 6, и в выражении выше у нас есть слагаемое k. Произведение k и (k² + 3k + 2) тоже будет кратно 6.

Следовательно, мы доказали, что если для некоторого целого числа k выполняется условие n³ — n = 6k, то это условие верно и для n = k + 1.

Таким образом, число n³ — n действительно делится на 6 для всех целых положительных n.

Свойства числа 6

Прежде всего, число 6 является четным числом. Это означает, что оно делится на 2 без остатка. Другими словами, 6 можно представить в виде произведения 2 и 3.

Кроме того, число 6 также является числом, делящимся на 3. Это означает, что оно делится на 3 без остатка. Другими словами, 6 можно представить в виде произведения 3 и 2.

Одним из самых интересных свойств числа 6 является его способность делиться на 6. Например, если возвести число 6 в куб и вычесть из результата само число 6, то получится число, которое делится на 6 без остатка.

Как видно из таблицы, результат деления числа 6 в кубе на 6 всегда будет целым числом без остатка.

Таким образом, число 6 обладает рядом уникальных свойств, которые делают его интересным объектом изучения в математике.

Деление на 2

При делении любого числа на 2, мы можем получить два возможных результаты: число может быть четным или нечетным. Четное число делится на 2 без остатка, в то время как нечетное число при делении на 2 дает в остатке 1.

Когда мы выражаем число в виде n³ — n и применяем деление на 2, мы можем увидеть, что с каждым членом этого выражения происходит деление на 2.

Число n сначала возводится в куб, что означает, что мы умножаем его на само себя два раза: n * n * n. Затем мы вычитаем из этого числа само число n.

Если мы рассмотрим каждый член этого выражения по отдельности, мы увидим, что каждое из них делится на 2. Куб числа n делится на 2, так как n * n * n = n² * n, а произведение двух чисел делится на 2. Также, само число n делится на 2, так как n = 2 * (n/2), где n/2 — целое число.

Деление на 3

Рассмотрим остатки от деления чисел n и n³ — n на 3:

• Если число n делится на 3 без остатка, то и число n³ — n также делится на 3 без остатка.
• Если число n даёт остаток 1 при делении на 3, то число n³ — n даёт остаток 0 при делении на 3.
• Если число n даёт остаток 2 при делении на 3, то число n³ — n даёт остаток 0 при делении на 3.

Доказательство делимости на 6 числа n³ — n

1. Когда n четное:

При подстановке четного числа n в выражение n³ — n получаем:

n³ — n = n(n² — 1)

Так как n является четным числом, то n(n² — 1) также будет делиться на 2. Поскольку n² — 1 всегда является четным (разность четного числа и единицы), то и произведение n(n² — 1) будет делиться на 2. Таким образом, число n³ — n делится на 6 в случае, когда n четное.

2. Когда n нечетное:

При подстановке нечетного числа n в выражение n³ — n получаем:

n³ — n = n(n² — 1)

Так как n является нечетным числом, то n(n² — 1) будет делиться на 2 только в случае, когда n² — 1 делится на 2. Однако, поскольку n² всегда является нечетным квадратом нечетного числа n, то n² — 1 будет делиться на 2. Таким образом, число n³ — n делится на 6 даже в случае, когда n нечетное.

Таким образом, при любом значении числа n, n³ — n будет делиться на 6. Доказательство завершено.

Проверка для первых нескольких значений n

• При n = 1: 1³ — 1 = 0, что делится на 6 без остатка.
• При n = 2: 2³ — 2 = 6, что также делится на 6 без остатка.
• При n = 3: 3³ — 3 = 24, что снова делится на 6.
• При n = 4: 4³ — 4 = 60, и это число также делится на 6 без остатка.

Мы видим, что для всех этих значений число n³ — n является кратным 6. Подобная проверка может быть проведена и для других значений n, и результат будет таким же — число n³ — n будет делиться на 6 без остатка.

Доказательство с помощью математической индукции

Шаг 1. Проверка базового случая

При n = 1, n³ — n = 1³ — 1 = 1 — 1 = 0. Поскольку 0 делится на 6 без остатка, базовый случай проверен.

Шаг 2. Предположение индукции

Предположим, что для некоторого k ≥ 1 выполняется, что k³ — k делится на 6.

Шаг 3. Проверка индукционного перехода

Докажем, что из предположения индукции следует, что (k + 1)³ — (k + 1) также делится на 6.

Раскроем выражение (k + 1)³ — (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 — k — 1 = k³ + 3k² + 2k.

Мы знаем, что k³ — k делится на 6 по предположению индукции. Кроме того, второе слагаемое 3k² делится на 6, так как 3k² делится на 3 и на 2.

Таким образом, k³ + 3k² делится на 6. И наконец, третье слагаемое 2k также делится на 6, так как 2k делится на 2 и на 3.

Следовательно, (k + 1)³ — (k + 1) также делится на 6.

Согласно принципу математической индукции, мы можем заключить, что для всех натуральных чисел n, n³ — n делится на 6.

Таким образом, утверждение доказано.