Количество двузначных чисел, не кратных 5 и 8

Двузначные числа – это числа, состоящие из двух цифр, от 10 до 99. Но сколько из них не делятся на 5 и на 8 одновременно? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно проанализировать все возможные комбинации двухзначных чисел и выяснить, какие из них удовлетворяют указанному условию.

Для начала давайте определим, что значит быть кратным числу. Число A называется кратным числу B, если делится на B без остатка. Другими словами, если при делении числа A на число B остаток равен нулю, то A кратно B. Используя это определение, мы можем приступить к анализу двузначных чисел.

Число кратно 5, если оно оканчивается на 0 или на 5. Число кратно 8, если сумма его цифр кратна 8. Таким образом, чтобы определить, является ли число двузначным и не кратным ни 5, ни 8, мы должны проверить два условия: первая и последняя цифры не должны быть 0 или 5, а сумма цифр не должна быть кратной 8.

Двузначные числа без кратности 5 и 8

Всего двузначных чисел — 90 (10-99).

Для определения количества чисел, кратных 5, мы можем разделить пределы диапазона (10-99) на 5 и округлить значения вниз и вверх, затем вычесть их разность из общего количества двузначных чисел:

Количество чисел, кратных 5: 18

Аналогичным образом мы можем вычислить количество чисел, кратных 8, в заданном диапазоне:

Количество чисел, кратных 8: 11

Теперь мы можем вычислить количество двузначных чисел, не кратных ни 5, ни 8, вычтя сумму чисел, кратных 5 или 8, из общего количества двузначных чисел:

Количество двузначных чисел, не кратных ни 5, ни 8: 61

Таким образом, в заданном диапазоне (10-99) существует 61 двузначное число, не кратное ни 5, ни 8.

Что такое двузначные числа?

Двузначные числа находятся в промежутке от 10 до 99. Например, числа от 10 до 19 — это двузначные числа, где десятки равны 1. А числа от 90 до 99 — это двузначные числа, где десятки равны 9.

Примечание: Двузначные числа не могут быть нулем, так как ноль не является цифрой ведущей позиции (десятки).

Каково количество двузначных чисел?

Для определения количества двузначных чисел, не кратных ни 5, ни 8, можно воспользоваться принципом включения-исключения.

Сначала найдем количество двузначных чисел, кратных 5. В диапазоне от 10 до 99 таких чисел 18 (с последней цифрой 5, 15, 25, … , 95).

Затем найдем количество двузначных чисел, кратных 8. Числа, кратные 8 и находящиеся в диапазоне от 10 до 99, это 10, 18, 26, … , 98. Последняя цифра снова может быть только 8, поэтому таких чисел 12.

Однако некоторые числа удовлетворяют обоим условиям — они и кратны 5, и кратны 8. Это числа, в которых последняя цифра равна 0 (20, 40, 60, 80). Таких чисел всего 4.

Применим принцип включения-исключения: общее количество двузначных чисел, не кратных ни 5, ни 8, равно количеству двузначных чисел минус количество чисел, кратных 5, минус количество чисел, кратных 8, плюс количество чисел, кратных и 5, и 8.

Итак, общее количество двузначных чисел, не кратных ни 5, ни 8, равно 90 (общее количество двузначных чисел) минус 18 (количество чисел, кратных 5) минус 12 (количество чисел, кратных 8) плюс 4 (количество чисел, кратных и 5, и 8).

Итого, получаем, что количество двузначных чисел, не кратных ни 5, ни 8, равно 64.

Что значит быть «кратным»?

Если число a делится на число b без остатка, то говорят, что число a кратно числу b. Математически это записывается так: a ≡ 0 (mod b).

Например, если число 12 делится на 3 без остатка, то говорят, что 12 кратно 3: 12 ≡ 0 (mod 3). При этом число 12 называется кратным числа 3.

Если число не делится на другое число без остатка, то оно не является кратным этому числу. Например, число 7 не делится на 4 без остатка, поэтому оно не является кратным числу 4.

Имея понимание о кратности чисел, можно определить двузначные числа, которые не кратны ни 5, ни 8, и ответить на вопрос в задаче.

Какие числа кратны 5?

Примеры чисел, кратных пяти:

• 5
• 10
• 15
• 20
• …

Таким образом, все числа, которые можно представить в виде n * 5, где n — целое число, будут кратными пяти.

Какие числа кратны 8?

Числа, кратные 8, это числа, которые можно разделить на 8 без остатка. При делении любого числа на 8, остаток может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7. Чтобы число было кратным 8, оно должно иметь остаток 0 при делении на 8.

Некоторые примеры чисел кратных 8:

• 8: 8 ÷ 8 = 1, без остатка
• 16: 16 ÷ 8 = 2, без остатка
• 24: 24 ÷ 8 = 3, без остатка
• 32: 32 ÷ 8 = 4, без остатка

Можно заметить, что все эти числа заканчиваются нулем, двойкой, четверкой или шестеркой. Также все они делятся на 2 без остатка. Это объясняется тем, что 8 является кратным 2, и любое число, кратное 8, также будет кратным 2.

Надеюсь, данная информация помогла вам разобраться в том, какие числа кратны 8.

Какие числа исключены из рассмотрения?

В данной задаче требуется найти количество двузначных чисел, которые не делятся ни на 5, ни на 8. Для этого необходимо исключить из рассмотрения все числа, которые делятся на 5 или на 8.

Числа, делящиеся на 5, оканчиваются на 5 или на 0. Следовательно, все двузначные числа, оканчивающиеся на 5 или на 0, исключаются из рассмотрения.

Числа, делящиеся на 8, должны делиться и на 2, и на 4. Из двузначных чисел, только 16 и 48 делятся на 4, и, следовательно, они также исключаются из рассмотрения.

Таким образом, числа, которые исключаются из рассмотрения, это числа, оканчивающиеся на 5 или на 0 (например, 15, 20, 25, 30, и так далее), а также числа 16 и 48.

Сколько чисел остаётся?

Для ответа на этот вопрос нам необходимо определить, сколько двузначных чисел существует в общем случае и вычесть из этого количества числа, кратные как 5, так и 8.

Существует 90 двузначных чисел, начинающихся с числа 10 и заканчивающихся числом 99.

Чтобы найти количество чисел, кратных 5, мы должны разделить 90 на 5 и округлить результат в меньшую сторону. В результате получается 18 чисел, кратных 5.

Аналогично, для нахождения количества чисел, кратных 8, мы делим 90 на 8 и округляем результат в меньшую сторону. Получается 11 чисел, кратных 8.

Чтобы найти количество чисел, кратных как 5, так и 8, мы должны разделить 90 на 40 (наименьшее общее кратное 5 и 8) и округлить результат в меньшую сторону. Получаем 2 числа, кратных как 5, так и 8.

Теперь мы можем вычесть количество чисел, кратных как 5, так и 8, из общего количества двузначных чисел. Итак, остаётся (90 — 18 — 11 + 2) = 63 числа, которые не делятся ни на 5, ни на 8.

Получается, что существует 63 двузначных чисел, не кратных ни 5, ни 8.

Как найти количество оставшихся чисел?

Для решения задачи о нахождении количества двузначных чисел, не кратных ни 5, ни 8, можно использовать подход комбинаторики.

Общее количество двузначных чисел равно 90 (от 10 до 99), при этом требуется исключить числа, которые делятся на 5 или на 8.

Чтобы найти количество чисел, делящихся на 5, можно поделить первое и последнее двузначные числа, делящиеся на 5 (10 и 95), на 5 и вычесть 1. Получается (95/5) — (10/5) — 1 = 19 — 2 — 1 = 16.

Аналогично, чтобы найти количество чисел, делящихся на 8, можно поделить первое и последнее двузначные числа, делящиеся на 8 (16 и 96), на 8 и вычесть 1. Получается (96/8) — (16/8) — 1 = 12 — 2 — 1 = 9.

Чтобы найти количество чисел, делящихся и на 5, и на 8 (то есть числа, делящиеся на их наименьшее общее кратное), можно поделить первое и последнее двузначные числа, делящиеся на 40 (40 и 80), на 40 и вычесть 1. Получается (80/40) — (40/40) — 1 = 2 — 1 — 1 = 0.

Итак, общее количество чисел, не кратных ни 5, ни 8, равно общему количеству двузначных чисел (90) минус количество чисел, делящихся на 5 (16), минус количество чисел, делящихся на 8 (9), плюс количество чисел, делящихся и на 5, и на 8 (0). Таким образом, оставшееся количество чисел равно 90 — 16 — 9 + 0 = 65.

Итоговое количество двузначных чисел без кратности 5 и 8

Для решения этой задачи нам необходимо исключить все двузначные числа, которые кратны либо 5, либо 8.

Кратность числа 5 означает, что оно делится на 5 без остатка. Все двузначные числа, которые делятся на 5, состоят из двух значащих цифр: 10, 15, 20 и т.д. Всего таких чисел 9.

Кратность числа 8 означает, что оно делится на 8 без остатка. Все двузначные числа, которые делятся на 8, состоят из трех значащих цифр: 16, 24, 32 и т.д. Всего таких чисел 13.

Теперь, чтобы найти искомое количество двузначных чисел без кратности 5 и 8, нужно выполнить следующую операцию:

Общее количество двузначных чисел — количество чисел, кратных 5 — количество чисел, кратных 8

Общее количество двузначных чисел равно 90 (10-99).

Количество чисел, кратных 5, равно 9.

Количество чисел, кратных 8, равно 13.

Подставляем значения в формулу:

Итоговое количество двузначных чисел без кратности 5 и 8 = 90 — 9 — 13 = 68

Итак, окончательный ответ: в диапазоне двузначных чисел, не существует 68 чисел, кратных ни 5, ни 8.