Ограничена ли последовательность xn = 5n^3?

iconНа чтение4 мин
iconОпубликовано
iconОбновлено

Последовательность — это набор чисел, которые упорядочены в определенном порядке. При изучении последовательностей в математике одной из основных задач является определение ограниченности. Ограниченная последовательность означает, что все ее элементы находятся в определенном диапазоне значений.

Для того чтобы определить, является ли последовательность xn = 5^n + 3 ограниченной, мы должны проанализировать ее элементы. В данном случае, каждый элемент последовательности выражается как 5 в степени n, к которому добавляется 3. Однако, несмотря на то, что каждый элемент последовательности увеличивается с увеличением значения n, она не является ограниченной.

Почему? Потому что, по мере роста значения n, элементы последовательности xn = 5^n + 3 становятся все больше и больше. Они не имеют верхней границы и могут принимать любые значения сверху. Таким образом, последовательность является неограниченной.

Содержание
  1. Что такое последовательность?
  2. Ограниченность последовательности
  3. Последовательность xn
  4. Как задать последовательность?
  5. Пример ограниченной последовательности

Что такое последовательность?

В математике последовательности играют важную роль, так как они позволяют описывать зависимость между числами и анализировать их свойства. Последовательности можно рассматривать как функции, заданные на множестве натуральных чисел.

Существует два типа последовательностей: ограниченные и неограниченные.

Ограниченная последовательность — это последовательность, для которой существует число M, такое что |xn| ≤ M для всех n. То есть все элементы последовательности ограничены сверху и снизу по некоторому числу.

Неограниченная последовательность — это последовательность, для которой не существует такого числа M, что |xn| ≤ M для всех n. В такой последовательности элементы могут стремиться к бесконечности или совершать бесконечные колебания.

Ограниченность последовательности

Для анализа ограниченности последовательности xn=(5n)/3, рассмотрим первые несколько членов последовательности:

nxn
15/3 ≈ 1.67
2(52)/3 ≈ 2.78
3(53)/3 ≈ 4.63
4(54)/3 ≈ 7.78

Можно заметить, что все значения xn больше 1 и монотонно возрастают, но есть ограничение снизу. Это означает, что можно выбрать число A равным 1, а также можно заметить, что xn стремится к бесконечности при n→∞, но есть ограничение сверху.

Очевидно, что xn будет ограничено сверху любым числом B, большим или равным, например, 8. Это потому, что при n=4 значение xn уже больше 8.

Таким образом, можно выбрать числа A=1 и B=8, и для последовательности xn=(5n)/3 выполняется неравенство 1 ≤ xn ≤ 8 для всех n. Следовательно, данная последовательность является ограниченной.

Последовательность xn

Для n = 1, x1 = 5 * 1^3 = 5. Для n = 2, x2 = 5 * 2^3 = 40. Для n = 3, x3 = 5 * 3^3 = 135.

Мы видим, что значения xn растут с увеличением значения n. Это говорит о том, что последовательность не является ограниченной.

Таким образом, последовательность xn = 5n^3 не является ограниченной.

Как задать последовательность?

Для задания последовательности необходимо определить значение каждого элемента последовательности в зависимости от их порядка. Существует несколько способов задания последовательности, наиболее распространенные из них:

  1. Задание явной формулой. В этом случае каждый элемент последовательности выражается через общую формулу. Например, последовательность фибоначчи можно задать следующим образом: первый элемент равен 0, второй элемент равен 1, а каждый следующий элемент равен сумме двух предыдущих элементов.
  2. Рекуррентное задание. В этом случае каждый элемент последовательности выражается через один или несколько предыдущих элементов последовательности. Например, последовательность xn = n^2 — 2n + 1 можно задать следующим образом: первый элемент равен 0, а каждый следующий элемент равен предыдущему элементу, увеличенному на 2.
  3. Графическое задание. В этом случае элементы последовательности представлены на числовой прямой или на графике функции, где каждому элементу соответствует определенная координата. Например, последовательность xn = (-1)^n можно задать на числовой прямой, где четным элементам соответствуют положительные значения, а нечетным элементам — отрицательные значения.

Таким образом, выбор способа задания последовательности зависит от ее свойств и требуемой точности определения элементов. Важно также учесть, что последовательность может быть ограниченной (значения элементов не превышают некоторой границы) или неограниченной.

Пример ограниченной последовательности

Рассмотрим пример с последовательностью xn = 5n + 3. Чтобы показать, что эта последовательность ограничена, мы можем оценить каждый элемент и установить его границы.

Для любого натурального числа n, вычисляем xn:

  • При n = 1: x1 = 51 + 3 = 5 + 3 = 8
  • При n = 2: x2 = 52 + 3 = 25 + 3 = 28
  • При n = 3: x3 = 53 + 3 = 125 + 3 = 128
  • И так далее…

Мы видим, что при каждом значении n, элементы последовательности xn больше или равны 8. Таким образом, можно сказать, что последовательность xn ограничена снизу значением 8.

Однако, здесь мы не можем установить верхнюю границу для последовательности, так как элементы последовательности xn будут расти с ростом n. Поэтому мы можем только сказать, что последовательность xn ограничена сверху бесконечностью.

Таким образом, последовательность xn = 5n + 3 является ограниченной сверху бесконечностью и снизу числом 8.

Добавить комментарий

Вам также может понравиться