Решение неравенства: 2x² + 5x + 8 > 0

Неравенства являются важной частью математики и нашей повседневной жизни. Они позволяют нам сравнивать различные значения и определять, когда одно значение больше или меньше другого. В этой статье мы рассмотрим, как решить неравенство вида 2x^2 + 5x + 8 > 0 и определить количество целых чисел в его решении.

Для начала позвольте мне объяснить, что означает неравенство вида 2x^2 + 5x + 8 > 0. Здесь у нас есть квадратное уравнение с коэффициентами 2, 5 и 8. Наша цель — определить значения переменной x, при которых выражение 2x^2 + 5x + 8 будет положительным числом. В данном случае, мы хотим найти все значения x, при которых график квадратного уравнения находится выше оси OX.

Для решения этого неравенства мы можем использовать методы анализа квадратных уравнений и графиков. Вначале мы найдем корни квадратного уравнения 2x^2 + 5x + 8 = 0. Затем мы построим график этой функции и определим, где она находится относительно оси OX. Наконец, мы определим, на каких интервалах значений x график находится выше оси OX и передадим ответ в виде количества целых чисел.

Неравенство 2x^2 + 5x + 8 > 0: количество целых чисел в решении

Для решения данного неравенства, необходимо найти значения переменной x, при которых выражение 2x^2 + 5x + 8 > 0. Чтобы определить количество целых чисел в решении, необходимо проанализировать дискриминант квадратного трехчлена.

Дискриминант квадратного трехчлена можно найти по формуле: D = b^2 — 4ac, где a = 2, b = 5, c = 8.

Подставляем значения в формулу: D = 5^2 — 4 * 2 * 8 = 25 — 64 = -39.

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, а значит, неравенство 2x^2 + 5x + 8 > 0 не имеет целых чисел в решении.

Таким образом, количество целых чисел в решении данного неравенства равно 0.

Анализ коэффициентов и дискриминанта

Для решения неравенства 2x^2 + 5x + 8 > 0 необходимо проанализировать коэффициенты и дискриминант квадратного уравнения.

1. Коэффициент перед x^2 равен 2, что означает, что график квадратного уравнения открывается вверх.
2. Коэффициент перед x равен 5, что указывает на направление графика — если коэффициент положительный, график смещается влево, если отрицательный — вправо.
3. Свободный коэффициент равен 8, что указывает на точку пересечения графика с осью y (ось ординат).
4. Дискриминант квадратного уравнения D = b^2 — 4ac, где a=2, b=5, c=8. Подставим значения и вычислим: D = 5^2 — 4*2*8 = 25 — 64 = -39.

Отрицательное значение дискриминанта (-39) говорит о том, что у квадратного уравнения нет действительных корней и график не пересекает ось x (ось абсцисс).

Формула дискриминанта и его значения

Формула дискриминанта для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 выглядит следующим образом:

D = b^2 — 4ac

Здесь a, b и c — коэффициенты уравнения. Значение дискриминанта можно использовать для определения количества решений уравнения и их типа:

• Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня;
• Если D = 0, уравнение имеет один действительный корень, который является двукратным;
• Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, а имеет два комплексных корня;

Значение дискриминанта позволяет понять, какие результаты ожидать при решении квадратного уравнения. В случае неравенств, как в приведенном примере, требуется найти интервалы, в которых значение уравнения положительно.

Решая неравенство 2x^2 + 5x + 8 > 0, необходимо использовать значения дискриминанта для определения числа решений, и затем анализировать интервалы, в которых неравенство выполняется.

Виды решений неравенства

Для начала найдем корни квадратного уравнения 2x^2 + 5x + 8 = 0 с помощью дискриминанта. Дискриминант равен D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 * 2 * 8 = 25 — 64 = -39. Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней, а значит, нет точек, в которых значение выражения равно нулю.

Далее нужно найти вершину параболы, заданной выражением 2x^2 + 5x + 8. Вершина находится по формуле x = -b/2a = -5/(2 * 2) = -5/4. Значение выражения в этой точке равно 2 * (-5/4)^2 + 5 * (-5/4) + 8 = 125/8 — 25/4 + 8 = 125/8 — 50/8 + 64/8 = 139/8. Таким образом, вершина находится в точке x = -5/4, y = 139/8.

Теперь рассмотрим выражение 2x^2 + 5x + 8 в различных интервалах:

• Если x < -5/4, то 2x^2 + 5x + 8 > 0, так как сумма положительных чисел будет положительной.
• Если -5/4 < x < -39/8, то 2x^2 + 5x + 8 < 0, так как сумма отрицательных чисел будет отрицательной.
• Если x > -39/8, то 2x^2 + 5x + 8 > 0, так как сумма положительных чисел будет положительной.

Итак, неравенство 2x^2 + 5x + 8 > 0 выполняется при x < -5/4 и x > -39/8. В этих интервалах значение выражения положительно.

Таким образом, количество целых чисел в решении неравенства будет зависеть от длины интервала (-5/4, -39/8) и может быть любым целым числом.

Определение равенства нулю и интервалы знаков функции

Чтобы решить неравенство 2x^2 + 5x + 8 > 0, необходимо сначала определить, когда функция равна нулю. Для этого нужно решить квадратное уравнение 2x^2 + 5x + 8 = 0.

Далее, полученные корни квадратного уравнения разбивают ось x на интервалы. В каждом интервале можно выбрать произвольную точку и определить знак функции в этой точке. Если функция положительна, то она находится выше оси x, если отрицательна – ниже.

Интервалы, на которых функция положительна или равна нулю, будут участками решения неравенства 2x^2 + 5x + 8 > 0.

Подобным образом можно решить и другие неравенства, используя метод интервалов знаков функции.

Построение таблицы знаков

Прежде чем решать данное неравенство 2x^2 + 5x + 8 > 0, можно построить таблицу знаков, чтобы увидеть, какое количество целых чисел удовлетворяет неравенству.

Для построения таблицы знаков нужно рассмотреть все коэффициенты неравенства и определить их знаки. В данном случае:

• a = 2
• b = 5
• c = 8

В таблице знаков будут следующие столбцы:

1. Знаки коэффициентов
2. Знаки между них
3. Знаки квадратного выражения
4. Числа
5. Знаки уравнения

Начнем с первого столбца. Знаки коэффициентов будут такими:

1. 2 — положительное число
2. 5 — положительное число
3. 8 — положительное число

Теперь посмотрим на второй столбец. Знаки между коэффициентами будут такими:

1. 2 и 5 — сложение положительного и положительного числа даёт положительное число
2. 5 и 8 — сложение положительного и положительного числа даёт положительное число

Перейдем к третьему столбцу. Знаки квадратного выражения будут такими:

2x^2 — положительное число (так как коэффициент перед x^2 положительный)

Теперь рассмотрим последний столбец. Числа будут такими:

Мы ищем количество целых чисел, удовлетворяющих неравенству 2x^2 + 5x + 8 > 0. Исходя из построенной таблицы, видно, что квадратное выражение всегда будет положительным, поэтому неравенство будет выполняться для любого значения x. Следовательно, количество целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству, будет бесконечно большим.

Поиск целых корней в интервалах неравенства

Чтобы решить неравенство 2x^2 + 5x + 8 > 0 и определить количество целых чисел в его решении, нужно проанализировать знак выражения в интервалах.

Для начала, найдем корни квадратного уравнения 2x^2 + 5x + 8 = 0. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы определить их количество и значение.

D = b^2 — 4ac, где a = 2, b = 5 и c = 8. Вычислив, получаем D = 5^2 — 4 * 2 * 8 = 25 — 64 = -39.

Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение 2x^2 + 5x + 8 = 0 не имеет целых корней.

Следующий шаг — поиск интервалов, в которых выражение 2x^2 + 5x + 8 принимает положительные значения, чтобы определить количество целых чисел в решении неравенства 2x^2 + 5x + 8 > 0.

Мы можем использовать метод интервалов, проверяя знак выражения в разных точках каждого интервала. Найдем точки, для которых выражение равно нулю:

2x^2 + 5x + 8 = 0

Дискриминант D = 5^2 — 4 * 2 * 8 = -39

Корни не существуют

Рассмотрим знаки выражения в предельных точках каждого интервала:

* При x < -2:

Подставим x = -3: 2(-3)^2 + 5(-3) + 8 = 18 — 15 + 8 = 11 > 0

Подставим x = -2.5: 2(-2.5)^2 + 5(-2.5) + 8 = 12.5 — 12.5 + 8 = 8 > 0

* При -2 < x < -1:

Подставим x = -1.5: 2(-1.5)^2 + 5(-1.5) + 8 = 4.5 — 7.5 + 8 = 5 > 0

Подставим x = -1.2: 2(-1.2)^2 + 5(-1.2) + 8 = 3.6 — 6 — 8 = -3.4 < 0

* При -1 < x < 0:

Подставим x = -0.5: 2(-0.5)^2 + 5(-0.5) + 8 = 0.5 — 2.5 + 8 = 6 > 0

Подставим x = -0.2: 2(-0.2)^2 + 5(-0.2) + 8 = 0.08 — 1 + 8 = 7.08 > 0

* При x > 0:

Подставим x = 0.5: 2(0.5)^2 + 5(0.5) + 8 = 0.5 + 2.5 + 8 = 11 > 0

Подставим x = 1: 2(1)^2 + 5(1) + 8 = 2 + 5 + 8 = 15 > 0

Исходя из этих результатов, в интервале (-∞, -1) и (0, +∞) выражение 2x^2 + 5x + 8 > 0 принимает положительные значения.

Таким образом, в решении неравенства 2x^2 + 5x + 8 > 0 содержатся два интервала с положительными значениями выражения. Количество целых чисел в решении будет равно двум.