Вписанный угол, образованный диаметром окружности: свойства и вычисления

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны проходят через другие точки этой окружности. Особый интерес вызывает вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности. В зависимости от своей длины, диаметр может быть источником разных углов, что делает его изучение важным аспектом геометрии. Зная формулу и имея примеры, можно легко рассчитать значение вписанного угла опирающегося на диаметр окружности.

Формула для расчета вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, следующая: угол равен половине соответствующего центрального угла.

Стоит отметить, что каждый центральный угол имеет соответствующий вписанный угол. Для вычисления вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, следует разделить значение центрального угла на 2. Например, если центральный угол равен 90 градусам, тогда вписанному углу будет соответствовать значение 45 градусов.

Определение вписанного угла

Для определения величины вписанного угла, необходимо знать длину дуги окружности, на которую угол опирается, а также радиус окружности.

Формула для определения величины вписанного угла:

α = 2 * arcsin (l / (2 * r)),

• α – величина вписанного угла,
• l – длина дуги, на которую угол опирается,
• r – радиус окружности.

Например, если длина дуги окружности равна 4 см, а радиус окружности равен 2 см, то величину вписанного угла можно определить следующим образом:

α = 2 * arcsin (4 / (2 * 2)) = 2 * arcsin (2) ≈ 114,59°.

Таким образом, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, имеет величину около 114,59°.

Роль диаметра окружности в определении вписанного угла

Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр. Важно отметить, что диаметр окружности равен удвоенному радиусу окружности.

Если провести диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на этот диаметр (то есть его стороны проходят через точки, соединяемые диаметром), будет равен 90 градусам. Это следует из свойства вписанных углов:

1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом.
2. Угол, опирающийся на диаметр, является наибольшим углом внутри окружности.

Примеры вписанных углов, опирающихся на диаметр окружности:

• В окружности диаметром 10 см вписан угол, опирающийся на диаметр и образующий дугу длиной 5 см. Угол будет равен 90 градусам.
• В окружности диаметром 8 м вписан угол, опирающийся на диаметр и образующий дугу длиной 6 м. Угол также будет равен 90 градусам.

Таким образом, диаметр окружности играет важную роль в определении вписанного угла, позволяя нам установить, что угол будет прямым.

Формула для вычисления вписанного угла

Для вычисления вписанного угла используется следующая формула:

1. Найдите длину дуги, на которую опирается угол. Для этого умножьте меру центрального угла (измеренную в радианах) на радиус окружности.
2. Расчет угла производится по формуле: мера дуги, на которую опирается угол, делится на радиус окружности и умножается на 180 градусов (или π радианов).

Например, если радиус окружности равен 5 см, а мера дуги составляет 2π радианов, то:

• Длина дуги = 2π * 5 см = 10π см
• Вписанный угол = (10π см / 5 см) * 180° = 36°

Таким образом, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности с радиусом 5 см и имеющий длину дуги 2π радианов, равен 36°.

Примеры вписанных углов

Вот несколько примеров вписанных углов, опирающихся на диаметр окружности:

• Угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90 градусам. Это свойство является следствием того, что диаметр является хордой, проходящей через центр окружности.
• Если угол вписан в полукруг, то он всегда равен 90 градусам. Это следует из свойства полуокружности, в которой диаметр является хордой и разделяет круг на два равных полукруга.
• Если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, то они равны между собой.
• Угол, опирающийся на хорду окружности, всегда равен половине вписанного угла, опирающегося на ту же хорду.

На основе этих свойств вписанных углов можно проводить различные геометрические рассуждения, которые позволяют находить значения углов и отрезков на окружности и в ее окрестностях.

Пример 1: Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности

В геометрии существует важное свойство вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу. Оно заключается в том, что все такие углы равны между собой.

Таким образом, если угол APB опирается на диаметр AB, то он равен углу ACB, где C — середина дуги AB.

Для нахождения величины вписанного угла APB можно воспользоваться формулой: угол APB = 180° — угол ACB.

Приведем пример:

Решение:

Воспользуемся формулой: угол APB = 180° — угол ACB.

Величина угла ACB составляет половину полного впианного угла и равна 90°.

Тогда угол APB = 180° — 90° = 90°.

Таким образом, величина угла APB равна 90°.