Коллинеарность двух ненулевых векторов — необходимые и достаточные условия

В линейной алгебре коллинеарные векторы играют важную роль. Коллинеарность — это свойство двух векторов быть параллельными и направленными в одном и том же направлении или в противоположном направлении.

Два ненулевых вектора считаются коллинеарными, если один вектор является кратным другого, то есть существует такая константа, которая умножает первый вектор, чтобы получить второй. Это можно записать как p * v = u, где p — константа, v и u — векторы.

Таким образом, если два ненулевых вектора коллинеарны, то они могут быть представлены одним и тем же геометрическим отрезком, просто с разной длиной и/или направлением. Коллинеарные векторы имеют одинаковый наклон и лежат на одной прямой линии.

Свойства коллинеарности векторов

1. Масштабирование: Если два ненулевых вектора коллинеарны, то они могут быть пропорционально масштабированы. То есть, если вектор A коллинеарен вектору B, то каждый компонент вектора A может быть умножен на одно и то же число, чтобы получить соответствующий компонент вектора B.

2. Ориентация: Коллинеарные векторы могут иметь одинаковую или противоположную ориентацию. Если два вектора имеют одинаковую ориентацию, их можно назвать положительно коллинеарными. Если их ориентации противоположны, векторы будут отрицательно коллинеарными.

3. Сложение: Коллинеарные векторы можно сложить или вычесть. Если вектор A и вектор B коллинеарны, то их сумма (A+B) будет также коллинеарна им. То же самое верно и для разности (A-B) двух коллинеарных векторов.

4. Скалярное произведение: Коллинеарные векторы имеют нулевое скалярное произведение. Если вектор A и вектор B коллинеарны, то их скалярное произведение (A·B) будет равно нулю.

Использование этих свойств позволяет упростить решение множества задач, связанных с коллинеарными векторами. Коллинеарность векторов часто встречается в геометрии, физике и других областях, где требуется анализ направления и относительного положения объектов.

Условие коллинеарности векторов

Таким образом, чтобы проверить коллинеарность двух векторов, необходимо разделить соответствующие компоненты векторов и сравнить их отношение. Если отношения равны, то векторы коллинеарны.

Доказательство эквивалентности условий

Для доказательства эквивалентности условий, утвержденных в предыдущем разделе, рассмотрим два ненулевых вектора a и b.

Допустим, что векторы a и b коллинеарны, то есть существует число k такое, что a = kb.

Возьмем произвольные числа x и y и рассмотрим их линейную комбинацию: xa + yb.

Используя равенство a = kb, можем переписать линейную комбинацию следующим образом: xa + yb = x(kb) + yb = (xk + y)b.

Таким образом, мы получили новую линейную комбинацию, в которой вектор b умножен на число (xk + y). Значит, если векторы a и b коллинеарны, то любая их линейная комбинация также коллинеарна.

Обратно, допустим, что любая линейная комбинация векторов a и b коллинеарна. Возьмем две линейные комбинации: xa + yb и wa + zb, где x, y, w и z — произвольные числа.

Рассмотрим линейную комбинацию (xa + yb) + (wa + zb) = (x + w)a + (y + z)b.

Так как эта линейная комбинация также коллинеарна, то существует число с, такое, что (x + w)a + (y + z)b = c(a + b).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: xa + wa + yb + zb = ca + cb.

Теперь можем сравнить коэффициенты при векторах a и b: x + w = c и y + z = c. Поэтому x + w = y + z.

Запишем это равенство в виде: x — y = z — w.

Таким образом, получаем, что произвольная линейная комбинация векторов a и b коллинеарна, если и только если x — y = z — w.

Таким образом, мы доказали эквивалентность условий коллинеарности векторов a и b.