rukav22.ru
В геометрии хордой окружности называется отрезок, соединяющий две точки на окружности. Это одно из базовых понятий, которое играет важную роль в изучении окружностей и их свойств. Хорды имеют множество интересных и полезных свойств, которые помогают решать задачи и доказывать теоремы.
Одно из основных свойств хорды окружности заключается в том, что диаметр – это частный случай хорды, проходящий через центр окружности и имеющий длину, равную удвоенному радиусу окружности. Если хорда параллельна диаметру, она делит окружность на две равные дуги. Если хорда проходит через центр окружности, то она является самой длинной хордой и разделяет окружность на две равные дуги.
Хорды окружности также используются для вычисления площадей фигур и нахождения расстояний между точками на окружности. Они имеют много применений в геометрии и других науках, таких как физика и инженерия. Знание свойств хорд позволяет более глубоко изучить окружности и применять их в практических задачах.
Определение и основные понятия
| Центр окружности | – точка, равноудаленная от всех точек окружности. Обозначается буквой O. |
| Радиус окружности | – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности. Обозначается буквой r. |
| Диаметр окружности | – хорда, проходящая через центр окружности и имеющая начало и конец на окружности. Обозначается буквой d. |
| Полухорда | – отрезок, соединяющий центр окружности с одним из концов хорды окружности. |
| Касательная | – прямая, которая пересекает окружность только в одной точке. Она всегда перпендикулярна радиусу, проведенному из центра к точке касания |
Хорда окружности имеет несколько свойств:
- Диаметр окружности является наибольшей хордой.
- Хорды, равноудаленные от центра окружности, равны.
- Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит ее на две равные части.
- Хорда, проходящая через центр окружности, равна диаметру окружности.
- Хорда, параллельная диаметру окружности, делит ее на две равные части.
Свойство хорды окружности
1. Ордината хорды — это перпендикуляр, опущенный из середины хорды на ее длину на окружность.
2. Ордината каждой хорды, проходящей через центр окружности, является диаметром.
3. Центр окружности является серединой хорды, если хорда — это диаметр.
4. Если две хорды вписаны в окружность и равны по длине, то эти хорды равноудалены от центра окружности.
5. Если хорда делит окружность на две равные части, то она перпендикулярна радиусу окружности, опущенному из центра на середину хорды.
Таким образом, свойства хорды окружности имеют важное значение в геометрии и применяются при решении различных задач и теорем.
Средняя линия хорды
Средняя линия хорды имеет несколько свойств:
| 1. | Средняя линия хорды равна половине диаметра окружности. |
| 2. | Средняя линия хорды перпендикулярна самой хорде. |
Средняя линия хорды является важным элементом геометрии окружности, который применяется в различных математических задачах и построениях.
Перпендикулярная биссектриса хорды
Для понимания данного свойства, рассмотрим простой пример: возьмем окружность с хордой AB. Чтобы построить перпендикулярную биссектрису хорды AB, находим середину хорды и строим прямую, перпендикулярную к AB и проходящую через середину.
Важно отметить, что перпендикулярная биссектриса хорды делит данную хорду на две равные части. Также она пересекает окружность в точке, которая находится на равном расстоянии от точек A и B, и является центром окружности.
Еще одно интересное свойство перпендикулярной биссектрисы хорды — если две хорды AB и CD пересекаются в точке E, то перпендикуляры, проведенные к AB и CD в точке пересечения, пересекаются на перпендикулярной биссектрисе хорды.
| Перпендикулярная биссектриса хорды | Схематичное представление |
|---|---|
| Свойство |  |
Теорема про хорду окружности
Теорема гласит, что когда две хорды пересекаются внутри окружности, произведение длин отрезков каждой хорды равно. То есть, если хорда AB пересекается с хордой CD в точке E, то AE⋅BE = CE⋅DE.
Эта теорема имеет важное применение при решении различных геометрических задач. Например, она позволяет находить длину одной хорды, если известны длины другой хорды и ее отрезков после пересечения с другой хордой.
Докажем эту теорему с использованием таблицы:
| Хорда | Отрезок |
|---|---|
| AB | AE |
| CD | DE |
Из теоремы о пропорциональных отрезках, мы знаем, что отрезки AE и CD образуют пропорцию с отрезками BE и DE: AE:BE = CD:DE.
Домножим оба выражения на длины отрезков BE и CD: AE⋅BE = CD⋅DE.
Таким образом, мы доказали, что при пересечении двух хорд внутри окружности, произведение длин отрезков каждой хорды равно.
Теорема про хорду окружности является важным инструментом в геометрии и может быть применена для решения различных задач, связанных с окружностями.
Леммы о хорде окружности
Доказательство: Пусть А и В — две точки на окружности, а M — середина отрезка АВ. Построим треугольник АМВ. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Известно, что радиус окружности является гипотенузой треугольника АМВ, а отрезок αМ является катетом, равным половине диаметра. Таким образом, квадрат диаметра будет равен сумме квадратов отрезков αМ и МВ. Поэтому, диаметр окружности представляет собой самую длинную хорду.
Лемма 2: Угол, составленный двумя хордами, равен сумме хорд, составляющих этот угол.
Доказательство: Пусть АВ и CD — две хорды, составляющие угол α. Проведем диаметр окружности, перпендикулярный к хорде CD. Пусть O — его центр, а N — точка пересечения с хордой CD. Так как NO является высотой треугольника NCD, то NCD — прямоугольный треугольник. Поэтому, теорема Пифагора применима. Расстояние от центра до точки пересечения прямой является катетом, а отрезок НС является другим катетом. Третья сторона треугольника — хорда CD. Следовательно, квадрат хорды CD равен сумме квадратов отрезков CN и NO. Это означает, что угол α будет равен сумме отрезков АВ и CD.