Иррациональная сумма — доказано, что сумма двух иррациональных чисел также является иррациональным числом

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде десятичной или дробной доли. Они не могут быть выражены в виде обыкновенной дроби и не имеют конечного или периодического десятичного представления.

Один из самых известных иррациональных чисел — это пи (π). Значение пи равно приблизительно 3,14159265358979323846 и продолжается бесконечно. Важно отметить, что пи не может быть выражено в виде обыкновенной дроби.

Теперь предположим, что у нас есть два иррациональных числа, обозначим их как a и b. Наша задача — доказать, что сумма a + b также является иррациональным числом.

Доказательство от противного:

Предположим, что сумма a + b является рациональным числом. Это означает, что ее можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m и n — целые числа, а n не равно нулю.

Что такое иррациональные числа

Примером иррационального числа является число π (пи). Оно не может быть выражено как отношение двух целых чисел и его десятичная запись 3.141592653589793238462643… не имеет периода и не может быть точно представлена в виде десятичной дроби.

Другим примером иррационального числа является корень квадратный из 2 (√2). Он также не может быть представлен как отношение двух целых чисел и его значение примерно равно 1.414213562373095048801688724209… без периода или повторяющихся цифр.

Иррациональные числа могут быть представлены с помощью символического обозначения, такого как π или √2. Они имеют множество интересных свойств и играют важную роль в математике и ее приложениях.

Сумма двух иррациональных чисел

Пусть у нас есть два иррациональных числа a и b. Предположим, что их сумма a + b является рациональным числом.

Если a + b = c, где c является рациональным числом, то мы можем записать a = c — b. Заметим, что сумма чисел c и -b также будет рациональным числом.

Теперь рассмотрим разность c — b. Если c — b = d, где d является рациональным числом, то мы можем записать b = c — d. Здесь мы также видим, что сумма чисел c и -d является рациональным числом.

Итак, мы получили, что сумма двух иррациональных чисел может быть выражена как сумма рационального числа и рационального числа, что противоречит исходному предположению о том, что сумма a + b является рациональным числом.

Таким образом, мы показали, что сумма двух иррациональных чисел является иррациональным числом.

Пример суммы двух иррациональных чисел

Пусть а и b — два иррациональных числа, такие что a ≠ b и оба числа являются корнями уравнений с целочисленными коэффициентами. Тогда их сумма:

a + b

представляет собой корень уравнения:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Предположим, что а + b является рациональным числом и может быть представлено в виде дроби: а + b = p/q, где p и q являются целыми числами без общих делителей и q ≠ 0.

Возведя обе части уравнения (а + b)² = a² + 2ab + b² в квадрат, получим:

(a + b)² = (p/q)² = a² + 2ab + b²

Умножим обе части на q²:

p² = q²(a² + 2ab + b²)

Поскольку а², 2ab и b² являются рациональными числами, их сумма также является рациональным числом.

Тогда p² является рациональным числом, что влечет за собой то, что и p является рациональным числом.

Итак, a + b = p/q, и a и b являются иррациональными числами, следовательно, p и q также являются иррациональными числами.

Это противоречие доказывает, что сумма двух иррациональных чисел является иррациональным числом.

Целое число не может быть иррациональным

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде дроби двух целых чисел и имеет бесконечную десятичную дробь без периода. Некоторые известные иррациональные числа включают π (пи), √2 (квадратный корень из 2) и e (основание натуральных логарифмов).

Сумма двух чисел является результатом их сложения. Если оба числа являются иррациональными, то сумма также будет иррациональным числом. Это можно легко показать на примере:

Предположим, что сумма двух чисел a и b равна целому числу c. Мы можем записать это как a + b = c. Так как a и b являются иррациональными, это означает, что их сумма также должна быть иррациональным числом. Однако, по определению целого числа, оно не может быть иррациональным. Противоречие!

Таким образом, можно заключить, что сумма двух иррациональных чисел будет иррациональным числом.

Иррациональная сумма иррациональных чисел

Иррациональные числа имеют бесконечные десятичные представления и не могут быть точно представлены в виде дробей. Если сложить два иррациональных числа, результат будет также иррациональным числом.

Предположим, что у нас есть два иррациональных числа a и b. Мы можем представить их в виде суммы рациональной и иррациональной частей:

• a = a_rational + a_irrational
• b = b_rational + b_irrational

Где a_rational и b_rational — рациональные числа, а a_irrational и b_irrational — иррациональные числа.

Теперь сложим числа a и b:

a + b = (a_rational + b_rational) + (a_irrational + b_irrational)

Мы можем объединить рациональные части и иррациональные части отдельно:

• a + b = (a_rational + b_rational) + (a_irrational + b_irrational)
• = a_rational + b_rational + a_irrational + b_irrational
• = (a_rational + b_rational) + (a_irrational + b_irrational)

Таким образом, мы получаем сумму рационального числа (a_rational + b_rational) и иррационального числа (a_irrational + b_irrational), которая также является иррациональным числом.

Доказательство иррациональности суммы иррациональных чисел

Предположим противное: предположим, что a + b является рациональным числом. Это значит, что a + b может быть представлено в виде дроби p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0.

Мы знаем, что a = p/q — b. Так как a — иррациональное число, а b — иррациональное число, то и (p/q — b) — иррациональное число.

Рассмотрим выражение a — b:

Так как p/q — 2b является иррациональным числом, а сумма и разность двух рациональных чисел также является рациональным числом (так как рациональные числа образуют поле), то получаем противоречие: a — b является иррациональным числом, но предположение гласило, что a + b — рациональное число.

Таким образом, наше предположение было неверным, и мы доказали, что сумма двух иррациональных чисел a + b — является иррациональным числом.