Количество целых чисел, удовлетворяющих неравенству x^2 — 8x + 24

Для решения этой задачи мы должны определить, сколько различных целых чисел можно найти, удовлетворяющих данному квадратному неравенству. Определение количества таких чисел является важным этапом математического анализа и позволяет нам изучать свойства и характеристики функций и уравнений.

Неравенство данного типа включает квадратичную функцию вида f(x) = x^2 — 8x + 24, где x — переменная, а коэффициенты a, b и c определяют характер и положение функции на оси координат. Чтобы найти все целочисленные значения x, удовлетворяющие неравенству, нам понадобится применить специальные методы решения квадратных уравнений и использовать свойства неравенств.

Вычислив дискриминант квадратного уравнения, мы сможем определить, сколько различных целых значений может принимать переменная x и каковы условия для их существования. Решение этой задачи требует математической точности и применения соответствующих методов, поэтому давайте разберемся вместе!

Количество целых чисел, удовлетворяющих неравенству x^2 — 8x + 24

Используя формулу дискриминанта, находим его значение D = b^2 — 4ac:

D = (-8)^2 — 4 * 1 * 24 = 64 — 96 = -32

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет вещественных корней, а, следовательно, нет целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству.

Таким образом, количество целых чисел, удовлетворяющих неравенству x^2 — 8x + 24, равно нулю.

Как найти количество таких чисел?

Для начала, нам необходимо найти дискриминант, который вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac. В данном случае, уравнение имеет вид x^2 — 8x + 24, где a = 1, b = -8 и c = 24. Подставляя значения в формулу, получим:

D = (-8)^2 — 4 * 1 * 24 = 64 — 96 = -32

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, количество целых чисел, удовлетворяющих неравенству, равно нулю.

Как решать неравенство x^2 — 8x + 24?

x^2 — 8x + 24 > 0

Затем найдем вершины параболы, заданной данной квадратичной функцией. По формуле можно найти вершину фукнции следующим образом:

x = -b/2a

Для данного неравенства вершина будет равна:

x = -(-8)/2*1 = 8/2 = 4

Теперь найдем значение функции в точке вершины:

f(4) = 4^2 — 8*4 + 24 = 16 — 32 + 24 = 8

Так как коэффициент при x^2 положителен, то парабола открывается вверх. То есть, значение функции в точке вершины будет наименьшим значением функции.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если значения функции для всех x меньше 8, то неравенство не имеет решений.
2. Если хотя бы для одного значения x значение функции больше 8, то найдем интервалы, для которых функция положительна. Для этого можно проанализировать знаки коэффициентов при x^2, x и свободного члена.
• Коэффициент при x^2 равен 1, что положительно.
• Коэффициент при x равен -8, что отрицательно.
• Свободный член равен 24, что положительно.
3. Таким образом, функция положительна в интервалах:
• (-∞, a) и (b, +∞), где a и b — корни уравнения x^2 — 8x + 24 = 0, найденные ранее
4. Таким образом, получаем ответ:
• Для x из интервала (-∞, 4) или (4, +∞) неравенство выполняется.

В итоге, неравенство x^2 — 8x + 24 выполняется для всех целых чисел из следующего множества: {-∞, …, 2, 3, 5, 6, …, +∞}.