Модуль комплексного числа z — значение и функции

Комплексные числа — это числа вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, такая что i^2 = -1. Одна из важных характеристик комплексного числа z является его модуль, обозначаемый |z|, который представляет собой расстояние от начала координат до точки, обозначающей комплексное число z в комплексной плоскости.

Модуль комплексного числа z можно выразить следующим образом: |z| = sqrt(a^2 + b^2), где sqrt — квадратный корень. Формула для вычисления модуля основана на использовании теоремы Пифагора, где a — это действительная часть комплексного числа, а b — мнимая часть.

Модуль комплексного числа z может быть воспринят как его длина или абсолютное значение. Он всегда является неотрицательным числом и равен нулю только в случае, когда z = 0. Модуль также может быть использован для нахождения аргумента комплексного числа через формулу arg(z) = arctg(b/a), где arctg — арктангенс.

Модуль z в комплексных числах:

Модуль комплексного числа z обозначается как |z| и вычисляется по формуле:

|z| = sqrt(x^2 + y^2),

где x и y — действительная и мнимая части комплексного числа соответственно.

Модуль z может быть положительным или нулевым. Если модуль равен нулю (|z| = 0), то комплексное число z является нулевым комплексным числом (z = 0). В противном случае, модуль комплексного числа z всегда положителен.

Геометрически, модуль z представляет собой расстояние от точки, соответствующей комплексному числу z, до начала координатной оси. Это расстояние может быть выражено в виде гипотенузы прямоугольного треугольника, образованного действительной и мнимой частями комплексного числа.

Определение и свойства модуля

Модуль числа z показывает его «длину» или «расстояние» от нуля до точки на комплексной плоскости, которую это число представляет. Модуль также может быть представлен в тригонометрической форме: |z| = r, где r — радиус вектора числа z на комплексной плоскости.

Свойства модуля комплексного числа:

1. Модуль числа всегда является неотрицательным числом: |z| >= 0.
2. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю: |z| = 0 <=> z = 0.
3. Модуль сопряженного числа равен модулю исходного числа: |z*| = |z|, где z* — сопряженное к числу z.
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел: |z1 * z2| = |z1| * |z2|.
5. Модуль разности двух чисел меньше или равен сумме их модулей: |z1 — z2| <= |z1| + |z2|.

Модуль комплексного числа является важным понятием в комплексном анализе и находит свое применение в решении множества задач математики и физики.

Вычисление модуля комплексного числа

Модуль комплексного числа можно вычислить, используя понятие его абсолютной величины. Модуль комплексного числа z записывается как |z|.

Для вычисления модуля комплексного числа z = a + bi, где a и b — числа, необходимо применить формулу:

|z| = √(a^2 + b^2)

Где a^2 — квадрат действительной части комплексного числа, а b^2 — квадрат мнимой части комплексного числа.

Например, пусть дано комплексное число z = 3 + 4i. Для вычисления его модуля применим формулу:

|z| = √((3^2) + (4^2)) = √(9 + 16) = √25 = 5

Таким образом, модуль комплексного числа z равен 5.