Во сколько раз уменьшится объем шара при уменьшении радиуса в два раза

Шар — одно из наиболее известных геометрических тел, обладающих сферической формой. Для шара характерны две важные характеристики — радиус и объем. Радиус шара определяет его размер, а объем — количество пространства, занимаемого шаром.

Интересно, что при уменьшении радиуса шара в два раза, его объем сократится не вдвое, а в восемь раз! Такое неожиданное свойство объясняется математической формулой для расчета объема шара. Формула гласит: V = (4/3)πr³, где V — объем, π — число пи, r — радиус.

Для понимания этого свойства достаточно вспомнить, что объем шара пропорционален кубу его радиуса. Поэтому, если радиус уменьшается в два раза, то его куб сократится в восемь раз (2³=8). И это означает, что объем шара также уменьшится в восемь раз по сравнению с исходным значением. То есть, уменьшение радиуса в два раза приводит к заметному уменьшению объема шара.

Уменьшение объема шара

V = (4/3)πr³

где V — объем шара, π — число Пи (примерное значение 3,14), r — радиус шара.

Когда радиус шара уменьшается, его объем также уменьшается. Давайте рассмотрим, что происходит с объемом шара, если его радиус уменьшается в два раза.

Подставим в формулу уменьшенное значение радиуса:

Следуя формуле для объема шара, вычислим исходный объем и новый объем шара:

V_{исходный} = (4/3)πr³

V_новый = (4/3)π(r/2)³

V_новый = (4/3)π(r³/8)

V_новый = (1/6)πr³

Таким образом, при уменьшении радиуса шара в два раза, его объем уменьшается в шесть раз.

Эффект уменьшения радиуса

Уменьшение радиуса шара в два раза приводит к значительному уменьшению его объема и поверхности. Это связано с тем, что объем и поверхность шара зависят от радиуса по следующим формулам:

При уменьшении радиуса в два раза, новый радиус будет равен половине исходного. Подставляя этот новый радиус в формулы, получим:

Таким образом, уменьшение радиуса в два раза приводит к уменьшению объема шара в 8 раз и уменьшению поверхности шара в 4 раза.

Пропорциональное изменение

При уменьшении радиуса шара в два раза, его объем уменьшается пропорционально. Это связано с тем, что объем шара зависит от куба его радиуса.

Для понимания этого явления достаточно рассмотреть формулу для вычисления объема шара:

V = 4/3 * π * r^3,

где V — объем шара, π — число пи (примерное значение 3,14), r — радиус шара.

Если уменьшить радиус шара в два раза, то получим:

V_new = 4/3 * π * (r/2)^3.

Выполнив простые алгебраические преобразования, получим:

V_new = 4/3 * π * r^3/8 = V/8.

Таким образом, объем нового шара в восемь раз меньше объема исходного шара.

Пропорциональное изменение объема шара при уменьшении радиуса в два раза позволяет легко вычислять изменение объема в задачах, связанных с уменьшением фигур и предметов.

Численные примеры

Для наглядного понимания уменьшения объема шара при уменьшении радиуса в два раза, рассмотрим несколько численных примеров.

Как видно из примеров, при уменьшении радиуса в два раза, объем шара уменьшается в восемь раз. Это объясняется тем, что объем шара пропорционален третьей степени его радиуса.