Выборочная дисперсия по среднему — понятие и его суть

Выборочная дисперсия по средней – это одна из основных характеристик выборочного распределения средних значений. Она позволяет оценить разброс средних значений в выборке и, соответственно, понять, насколько точно выборочное среднее значение отражает истинное среднее значение в генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия по средней рассчитывается путем деления выборочной дисперсии на объем выборки (количественную меру размера выборки). Чем больше выборка, тем меньше будет выборочная дисперсия по средней. Это объясняется тем, что больший объем выборки обеспечивает большую точность оценки среднего значения по выборке.

Что такое выборочная дисперсия по средней?

Выборочная дисперсия по средней вычисляется путем деления суммы квадратов разности каждого значения в выборке относительно среднего значения на количество элементов в выборке минус один.

Она обычно обозначается как S² и позволяет получить оценку разброса данных в выборке на основе отклонений каждого значения от среднего.

Выборочная дисперсия по средней является важной характеристикой выборки, так как позволяет оценить разброс данных, что помогает принимать решения в статистическом анализе. Она используется в различных областях, включая экономику, социологию, биологию и другие науки, где требуется оценить разброс данных.

Важно отметить, что выборочная дисперсия по средней не является точным значением разброса в генеральной совокупности, но она дает оценку на основе данных в выборке и может предоставить полезную информацию для принятия решений и анализа данных.

Определение и основное понятие

Она представляет собой сумму квадратов отклонений каждого элемента выборки от среднего значения, поделенную на размер выборки минус один:

Выборочная дисперсия по средней = Сумма[(Xi — Xср)²] / (n — 1),

где Xср — среднее значение выборки, Xi — каждый элемент выборки, n — размер выборки.

Выборочная дисперсия по средней позволяет оценить, насколько данные в выборке отклоняются от среднего значения. Чем больше значение выборочной дисперсии по средней, тем больше разброс в данных.

Формула вычисления выборочной дисперсии по средней

Формула для вычисления выборочной дисперсии по средней имеет вид:

1. Вычисляем среднее значение выборки по формуле:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + x_n) / n

2. Вычисляем отклонение каждого значения выборки от среднего значения:

d_i = x_i — x̄, где x_i — значение выборки, x̄ — среднее значение выборки

3. Вычисляем выборочную дисперсию по средней по формуле:

s² = (d₁² + d₂² + … + d_n²) / (n — 1)

Здесь n — количество значений в выборке, x̄ — среднее значение выборки, x_i — значение выборки, d_i — отклонение значения от среднего значения, s² — выборочная дисперсия по средней.

Вычисление выборочной дисперсии по средней позволяет получить числовую характеристику разброса значений в выборке, что полезно при статистическом анализе данных и принятии решений на основе выборочных данных.

Пример применения выборочной дисперсии по средней

Допустим, у нас есть группа студентов, и мы хотим узнать, насколько разбросаны их оценки по определенному предмету. Для этого мы можем использовать выборочную дисперсию по средней, чтобы оценить разброс оценок.

Предположим, у нас есть следующие оценки по предмету История: 7, 8, 9, 6, 8. Мы хотим найти выборочную дисперсию по средней для этой группы студентов.

Для начала, мы должны найти среднее значение оценок. Суммируем все оценки и делим на количество студентов в выборке:

Среднее значение оценок будет равно:

(7 + 8 + 9 + 6 + 8) / 5 = 38 / 5 = 7.6

Далее, мы должны найти отклонение каждой оценки от среднего. Для этого, вычитаем среднее значение из каждой оценки:

Теперь, мы должны возвести каждое отклонение в квадрат, чтобы избавиться от отрицательных значений и сохранить их влияние на разброс:

Наконец, мы должны найти среднее значение отклонений в квадрате, чтобы получить выборочную дисперсию по средней. Суммируем все отклонения в квадрате и делим на количество студентов минус один:

(0.36 + 0.16 + 1.96 + 2.56 + 0.16) / (5 — 1) = 5.2 / 4 = 1.3

Таким образом, выборочная дисперсия по средней для данной группы студентов по предмету История равна 1.3. Это значение позволяет нам оценить разброс оценок в группе и понять, насколько студенты отклоняются от среднего значения.

Значимость использования выборочной дисперсии по средней

Оценка дисперсии по средней основывается на разности между значениями выборки и их средним значением. Чем больше эта разность, тем больше изменчивость средних значений в выборке, и наоборот. Поэтому выборочная дисперсия по средней может служить мерой неопределенности, позволяющей судить о точности полученных результатов.

Использование выборочной дисперсии по средней позволяет рассчитать такие важные показатели, как стандартное отклонение и стандартная ошибка выборки. Стандартное отклонение показывает разброс значений выборки относительно среднего значения, а стандартная ошибка выборки является мерой неопределенности оценки среднего значения генеральной совокупности.